Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Nouvelle-Calédonie J1 2025. Il couvre 3 thèmes : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Probabilités, Variables aléatoires · espérance et variance. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On dispose d'un sac et de deux urnes A et B.
— Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
— L'urne A contient 5 billets : 3 billets de 50 euros et 2 billets de 10 euros.
— L'urne B contient 4 billets : 1 billet de 50 euros et 3 billets de 10 euros.
Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :
— si c'est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l'urne A.
— si c'est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l'urne B.
On note les évènements suivants :
- $A$ : le joueur obtient une boule avec la lettre A.
- $C$ : le joueur obtient un billet de 50 euros.
Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.
Arbre représentant la situation (à recopier et compléter)
Quelle est la probabilité de l'évènement « le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de 50 € » ?
Démontrer que la probabilité $P(C)$ est égale à $0{,}3375$.
Le joueur a obtenu un billet de 10 euros. L'affirmation « Il y a plus de 80 % de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B » est-elle vraie ? Justifier.
On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.
Exemple : si le joueur obtient un billet de 50 €, on a $X_1 = 50$.
Montrer que l'espérance $E(X_1)$ est égale à $23{,}50$ et que la variance $V(X_1)$ est égale à $357{,}75$.
Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note $X_2$ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.
On note $Y$ la variable aléatoire ainsi définie : $Y = X_1 + X_2$.
Montrer que $E(Y) = 47$.
Expliquer pourquoi on a $V(Y) = V(X_1) + V(X_2)$.
Le joueur joue de même une troisième, une quatrième,…, une centième partie. On définit donc de la même façon les variables aléatoires $X_3, X_4, \ldots, X_{100}$. On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}$.
Démontrer que la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $\left]1950\,;\,2750\right[$ est supérieure ou égale à $0{,}75$.