BAC Spé Maths 2025 — Polynésie J1 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J1 Septembre 2025. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = 2 + \ln\bigl(u_n^2 - 3\bigr)$$
On admet que cette suite est bien définie.
Partie A : Exploitation de programmes Python
Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour que `suite(k)` qui prend en paramètre un entier naturel `k`, renvoie la liste des $k$ premières valeurs de la suite $(u_n)$.
Remarque : On précise que, pour tout réel strictement positif `a`, `log(a)` renvoie la valeur du logarithme népérien de `a`.
def suite(k):
L = []
u = 5
for i in range(......):
L.append(u)
u=..............
return(......)
On a exécuté `suite(9)` ci-dessous. Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ et l'autre sur son éventuelle convergence.
>>> suite(9)
[ 5, 5.091042453358316, 5.131953749864703,
5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954,
5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642]
On a ensuite créé la fonction `mystere(n)` donnée ci-dessous et exécuté `mystere(10000)`, ce qui a renvoyé `1`.
Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ ? Justifier.
def mystere(n):
L = suite(n)
c = 1
for i in range(n - 1):
if L[i] > L[i + 1]:
c = 0
return c
>>> mystere(10000)
1
Partie B : Étude de la convergence de la suite $(u_n)$
On considère la fonction $g$ définie sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$ par :
$$g(x) = 2 + \ln\bigl(x^2 - 3\bigr)$$
On admet que $g$ est dérivable sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
$$4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$$
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
Partie C : Étude de la valeur de la limite
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$ par :
$$f(x) = 2 + \ln\bigl(x^2 - 3\bigr) - x$$
On admet que $f$ est dérivable sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
On donne le tableau de variations de $f$ suivant. On ne demande aucune justification.
Tableau de variations de $f$
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.
On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $f(\ell) = 0$ et déterminer $\ell$.