Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2026. Il couvre 4 thèmes : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités conditionnelles et Bayes…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.
Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :
- 25% des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et 15% ont choisi l'abonnement « Famille »;
- 45% des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne »;
- 30% des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne »;
- 12% des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».
On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les évènements suivants :
- $E$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant »;
- $C$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Classique »;
- $F$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Famille »;
- $H$ : l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».
Partie A
Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés :
Arbre de probabilités (à compléter)
Calculer la valeur exacte de $P(E \cap H)$.
Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.
Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.
Partie B
On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.
On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option « Écoute hors-ligne ». On arrondira le résultat au millième.
Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.
On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise.
On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».
Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $q_n = 1 - 0{,}5875^n$.
Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins un abonné de l'échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à $99{,}9\%$.
Partie C
La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :
- Abonnement « Étudiant » : $5$ € par mois;
- Abonnement « Classique » : $10$ € par mois;
- Abonnement « Famille » : $16$ € par mois;
- Option « Écoute hors-ligne » : $2$ € de plus par mois, quel que soit l'abonnement choisi.
On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.
Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$.
Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.
Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ vaut $10{,}475$ et interpréter ce résultat dans le contexte.
À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire $Y$, arrondie au centième.
Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo.
On admet que l'espérance de la variable aléatoire $Z$ vaut $9$ et son écart-type $2$.
Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$.
Un responsable affirme que, si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins $50\%$ de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre $6$ et $12$ euros.
Justifier cette affirmation.