Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 Septembre 2025. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = xe^{-2x}.$$
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée.
Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1. Pour tout réel $x$, on a $f'(x) = (-2x+1)e^{-2x}$.
Affirmation 2. La fonction $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle :
$$y' + 2y = e^{-2x}.$$
Affirmation 3. La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;\,1\right]$.
Affirmation 4. L'équation $f(x) = -1$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
Affirmation 5. L'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est égale à $\dfrac{1}{4} - \dfrac{3e^{-2}}{4}$.