BAC Spé Maths 2025 — Asie J1 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 Septembre 2025. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Géométrie plane…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
« Dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est la droite qui passe par les trois points suivants :
- le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets de ce triangle).
- le centre de gravité de ce triangle situé à l'intersection des médianes de ce triangle.
- l'orthocentre de ce triangle situé à l'intersection des hauteurs de ce triangle ».
Le but de l'exercice est d'étudier un exemple de droite d'Euler.
On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté une unité.
L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AD}\,;\,\overrightarrow{AE}\right)$.
On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $J$ le milieu du segment $[BG]$.
Cube $ABCDEFGH$ de côté une unité
Donner sans justification les coordonnées des points $A$, $B$, $G$, $I$ et $J$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AJ)$.
Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IG)$ est :
$$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$
Démontrer que les droites $(AJ)$ et $(IG)$ sont sécantes en un point $S$ de coordonnées $S\!\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right)$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABG)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $(ABG)$.
On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{n}$ et passant par le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)$ est :
$$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2} \\ y = -t \\ z = 1+t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$
Montrer que cette droite $(d)$ coupe le plan $(ABG)$ en un point $L$ de coordonnées $L\!\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$.
Montrer que le point $L$ est équidistant des points $A$, $B$ et $G$.
Montrer que le triangle $ABG$ est rectangle en $B$.
Identifier le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle $ABG$ (aucune justification n'est attendue).
Vérifier par un calcul que ces trois points sont effectivement alignés.