Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 Septembre 2025. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Variables aléatoires · espérance et variance. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dominique répond à un QCM comportant 10 questions.
Pour chaque question, il est proposé 4 réponses dont une seule est exacte.
Dominique répond au hasard à chacune des 10 questions en cochant, pour chaque question, exactement une case parmi les 4.
Pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est donc $\dfrac{1}{4}$.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM.
Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et donner les paramètres de cette loi.
Quelle est la probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près.
Donner l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On suppose dans cette question qu'une bonne réponse rapporte un point et qu'une mauvaise réponse fait perdre $0{,}5$ point. La note finale peut donc être négative.
On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.
Calculer $P(Y = 10)$, on donnera la valeur exacte du résultat.
À partir de combien de bonnes réponses la note finale de Dominique est-elle positive ? Justifier.
Calculer $P(Y \leqslant 0)$, on donnera une valeur approchée au centième.
Montrer que $Y = 1{,}5X - 5$.
Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.