BAC Spé Maths 2025 — Asie J1 Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 Septembre 2025. Il couvre 4 thèmes : Limites de fonctions, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_n$ et on note $p_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$.
Pour les parties A et B de l'exercice, on considère que :
- Si l'évènement $A_n$ est réalisé alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0{,}3$.
- Si l'évènement $A_n$ n'est pas réalisé alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0{,}7$.
On suppose que $p_1 = 1$.
Partie A :
Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous :
Arbre des probabilités pour la Partie A
Montrer que $p_3 = 0{,}58$.
Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_3}(A_2)$, arrondir le résultat à $10^{-2}$ près.
Partie B :
Dans cette partie, on étudie la suite $\left(p_n\right)$ avec $n \geqslant 1$.
Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous :
Arbre des probabilités pour la Partie B
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1} = -0{,}4p_n + 0{,}7$.
On considère la suite $\left(u_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_n = p_n - 0{,}5$.
Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire l'expression de $u_n$, puis de $p_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
Partie C :
Soit $x \in \left]0\,;\,1\right[$, on suppose que $P_{\overline{A_n}}(A_{n+1}) = P_{A_n}\!\left(\overline{A_{n+1}}\right) = x$. On rappelle que $p_1 = 1$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1} = (1-2x)p_n + x$.
Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$$p_n = \frac{1}{2}(1-2x)^{n-1} + \frac{1}{2}.$$
Montrer que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et donner sa limite.