BAC Spé Maths 2024 — Compilation 2024
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Compilation 2024. Il couvre 3 thèmes : Analyse graphique, Dérivation et étude de fonctions, Équations différentielles. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice 1 — L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
On considère l'équation différentielle :
$$(E) : y' + y = e^{-x}$$
Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = xe^{-x}$. Vérifier que la fonction $u$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
On considère l'équation différentielle $(E') : y' + y = 0$. Résoudre l'équation différentielle $(E')$ sur $\mathbb{R}$.
En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 2$.
Partie II
Dans cette partie, $k$ est un nombre réel fixé que l'on cherche à déterminer.
On considère la fonction $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_k(x) = (x+k)e^{-x}$$
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$$h(x) = e^{-x}$$
On note $C_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthogonal et $C$ la courbe représentative de la fonction $h$.
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes $C_k$ et $C$ sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.
Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l'une des courbes est en traits pointillés, l'autre est en trait plein. Laquelle est la courbe $C$ ?
En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ et placer sur l'annexe à rendre avec la copie l'unité sur chacun des axes du graphique.
