BAC Spé Maths 2024 Métropole Secours — Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie

Exercice

On considère un repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$ de l'espace dans lequel on place les points
$$B(4\,;\,0\,;\,0),\quad D(0\,;\,4\,;\,0),\quad E(0\,;\,0\,;\,4)$$
et les points $C$, $F$, $G$ et $H$ de sorte que le solide $ABCDEFGH$ soit un cube.

Cube $ABCDEFGH$ avec les points $I$ (milieu de $[EF]$) et $K$

Question Q1

Donner les coordonnées des points $C$, $F$, $G$ et $H$.

Question Q2

On considère le point $I$ milieu de l'arête $[EF]$.

Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IC)$ est donnée par :
$$\begin{cases} x = 2+2t \\ y = 4t \\ z = 4-4t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}.$$

On désigne par $\mathcal{P}$ le plan orthogonal à la droite $(IC)$ passant par le point $G$, et par $J$ l'intersection de $\mathcal{P}$ avec $(IC)$.

Question Q3a

Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donnée par :
$$x + 2y - 2z - 4 = 0.$$

Question Q3b

Justifier que $J$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9}\,;\,\dfrac{20}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right)$.

Que représente $J$ par rapport à $C$ ?

Question Q3c

Vérifier que le point $K(0\,;\,2\,;\,0)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.

Question Q3d

Justifier que $(BK)$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{B \times h}{3}$, où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.

Question Q4a

Déterminer le volume de la pyramide $CBKG$.

Question Q4b

En déduire que l'aire du triangle $BKG$ est égale à $12$.

Question Q4c

Justifier que la droite $(BG)$ est incluse dans $\mathcal{P}$.

Question Q4d

On note $I'$ un point de l'arête $[EF]$, et $\mathcal{P}'$ le plan orthogonal à la droite $(I'C)$ passant par $G$.

Peut-on affirmer que la droite $(BG)$ est incluse dans $\mathcal{P}'$ ?

BAC Spé Maths 2024 — Métropole Secours

Corrigé détaillé disponible