BAC Spé Maths 2024 — Asie J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2024. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ d'unité 1 cm, on considère les points : $A(3\,;\,-1\,;\,1)$, $B(4\,;\,-1\,;\,0)$, $C(0\,;\,3\,;\,2)$, $D(4\,;\,3\,;\,-2)$ et $S(2\,;\,1\,;\,4)$.
Dans cet exercice on souhaite montrer que $SABDC$ est une pyramide à base $ABDC$ trapézoïdale de sommet $S$, afin de calculer son volume.
Pyramide SABDC à base trapézoïdale
Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.
Montrer que le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$.
On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.
Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
On note $I$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{8}{3}\right)$, puis montrer que $SI = 2\,\mathrm{cm}$.
Vérifier que le projeté orthogonal $H$ du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $H(3\,;\,3\,;\,-1)$ et montrer que $HB = 3\sqrt{2}\,\mathrm{cm}$.
Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze $ABDC$.
On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule
$$\mathcal{A} = \frac{b+B}{2} \times h$$
où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.
Déterminer le volume de la pyramide $SABDC$.
On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule
$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$