Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Secours 2024. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points $A(0\,;\,4\,;\,-1)$, $B(6\,;\,1\,;\,5)$ et $C(6\,;\,-2\,;\,-1)$.
On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 1 : Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Affirmation 2 : Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est
$$\begin{cases} x = 2+2t \\ y = 3-t \\ z = 1+2t \end{cases} \text{ où } t \in \mathbb{R}.$$
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Affirmation 3 : Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $(AB)$ est
$$2x + 2y - z - 9 = 0.$$
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
On considère les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique :
$$\mathcal{D} \begin{cases} x = 3+t \\ y = 1+t \\ z = 2+t \end{cases} \text{ où } t \in \mathbb{R} \;; \quad \mathcal{D}' \begin{cases} x = 2t' \\ y = 4-t' \\ z = -1+2t' \end{cases} \text{ où } t' \in \mathbb{R}.$$
Affirmation 4 : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.