Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Secours 2024. Il couvre 3 thèmes : Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 3
Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à 1.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2.$$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$.
L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - 2 = u_n(u_n - 2)$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = (u_n - 1)(u_n - 2)$.
2. Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n < 2$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
On donne ci-contre la fonction `u` écrite en langage Python.
def u(a,n) :
u=a
for k in range(n) :
u=u**2-2*u+2
return u
Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l'on saisit `u(2,1)` et `u(2,2)` dans la console Python.
Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $(u_n)$ dans le cas où $a = 2$ ?
On admettra ce résultat sans démonstration.
1. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln(u_n - 1)$.
Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2 dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1 + e^{2^n \times \ln(a-1)}$.
Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à 1, la limite de la suite $(u_n)$.