BAC Spé Maths 2024 — Métropole J2 Secours
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 Secours 2024. Il couvre 3 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 4
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :
- la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ ;
- la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en son point $N(0\,;\,2)$ ;
- le point $M(-2\,;\,0)$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et $P(2\,;\,0)$ appartenant à la tangente $T$.
On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $\left[0\,;\,+\infty\right[$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $\left]\,-\infty\,;\,-1\right]$.
Courbe $\mathcal{C}_f$, tangente $T$ en $N(0\,;\,2)$, points $M(-2\,;\,0)$ et $P(2\,;\,0)$
Partie A : étude graphique
On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.
Donner $f(0)$.
Déterminer $f'(0)$.
Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
La fonction $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.
Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Justifier.
Courbe 1, Courbe 2, Courbe 3 — candidates pour une primitive de $f$
Partie B : recherche d'une expression algébrique
On admet que la fonction $f$ est de la forme
$$f(x) = (ax + b)\,e^{\lambda x},$$
où $a$, $b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles.
Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.
Justifier que $b = 2$.
Justifier que $-2a + b = 0$ puis en déduire la valeur de $a$.
Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.
Partie C : étude algébrique
On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = (x+2)\,e^{-x}.$$
Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
On admet que $f'(x) = (-x-1)\,e^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier.
Étudier la convexité de $f$.
Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
4. Pour tout nombre réel $t > 0$, on pose :
$$I(t) = \int_{-2}^{t} f(x)\,dx.$$
En utilisant une intégration par parties, montrer que :
$$I(t) = (-t-3)\,e^{-t} + e^{2}.$$
En déduire un exemple de surface non limitée dont l'aire est finie.