Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2023. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Limites de fonctions, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 400$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 60$$
Partie A
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l'inégalité
$$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600.$$
Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Justifier.
On donne une fonction écrite en langage Python :
def mystere(seuil) :
n=0
u=400
while u <= seuil :
n = n+1
u = 0.9*u+60
return n
Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python : mystere(500) ?
Partie B
Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum 500 arbres. Chaque année il vend 10 % des arbres de son verger et puis il replante 60 nouveaux arbres. Le verger compte 400 arbres en 2023. L'arboriculteur pense qu'il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.
Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger ? Expliquer votre réponse.