BAC Spé Maths 2023 — La Réunion J1
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session La Réunion J1 2023. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous tel que $AB = 1$. On note $M$ le centre de la face $BCGF$ et $N$ le centre de la face $EFGH$.
Cube ABCDEFGH avec AB = 1, M centre de BCGF, N centre de EFGH
On se place dans le repère orthonormé $\left(D\,;\,\overrightarrow{DH},\,\overrightarrow{DC},\,\overrightarrow{DA}\right)$.
Donner sans justifier les coordonnées des points $F$ et $C$.
Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$.
Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est normal au plan $(HFC)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $(HFC)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AG)$.
Démontrer que le point $R$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HFC)$.
On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est :
$$\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
Démontrer qu'il existe un unique point $K$ sur la droite $(FG)$ tel que le triangle $KMN$ soit rectangle en $K$.
Quelle fraction du volume du cube $ABCDEFGH$ le volume du tétraèdre $FNKM$ représente-t-il ?