BAC Spé Maths 2023 — Polynésie Septembre
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie Septembre 2023. Il porte sur les thèmes Dérivation et étude de fonctions et Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)e^{-x} + x.$$
Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$$f''(x) = \left(x - \frac{3}{2}\right)e^{-x}.$$
En déduire les variations et le minimum de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$.
Justifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) > 0$.
En déduire que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.
Partie B
On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, ayant une expression de la forme
$$h(x) = (ax + b)e^{-x} + x,$$
où $a$ et $b$ sont deux réels.
Dans un repère orthonormé ci-après figurent :
- la courbe représentative $\mathscr{C}_h$ de la fonction $h$ ;
- les points A et B de coordonnées respectives $(-2\,;\,-2{,}5)$ et $(2\,;\,3{,}5)$.
Courbe $\mathscr{C}_h$ avec les points A$(-2\,;\,-2{,}5)$ et B$(2\,;\,3{,}5)$
Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$.
Sachant que la fonction $h$ admet sur $\mathbb{R}$ une dérivée seconde d'expression
$$h''(x) = -\frac{3}{2}e^{-x} + xe^{-x},$$
valider ou non la conjecture précédente.
Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
Sachant que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d'abscisse 0, en déduire les valeurs de $a$ et $b$.