Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie Septembre 2023. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Limites de fonctions, Python…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 2x + 3.$$
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\frac{4}{3}\,;\,2\right]$, $f(x)$ appartient à l'intervalle $\left[\frac{4}{3}\,;\,2\right]$.
Démontrer que pour tout $x$ réel, $x \leqslant f(x)$.
Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ :
$$f(x) - x = \frac{3}{4}(x-2)^2.$$
On considère la suite $(u_n)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = f(u_n).$$
On a donc, pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n^2 - 2u_n + 3.$$
Étude du cas : $\frac{4}{3} \leqslant u_0 \leqslant 2$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
$$u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2.$$
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Prouver que la limite de la suite est égale à 2.
Étude du cas particulier : $u_0 = 3$.
On admet que dans ce cas la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à 100.
def seuil() :
u = 3
n = 0
while ...
u = ...
n = ...
return n
Étude du cas : $u_0 > 2$.
À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que $(u_n)$ n'est pas convergente.