Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2023. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = x - \ln(1+x)$$
Justifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\left]\,-1\,;\,+\infty\,\right[$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\left]\,-1\,;\,+\infty\,\right[$. Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'(x)$.
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]\,-1\,;\,+\infty\,\right[$.
En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]\,-1\,;\,0\,\right[$.
Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\,-1\,;\,+\infty\,\right[$, on a :
$$f(x) = \ln\!\left(\frac{e^x}{1+x}\right)$$
En déduire la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
Partie B
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 10$ et, pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = u_n - \ln(1+u_n)$$
On admet que la suite $(u_n)$ est bien définie.
Donner la valeur arrondie au millième de $u_1$.
En utilisant la question 3. a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 0$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Déduire des questions précédentes que la suite $(u_n)$ converge.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.