Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres Étrangers J2 2023. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère les points
$$A(3\,;\,0\,;\,1),\quad B(2\,;\,1\,;\,2)\quad \text{et}\quad C(-2\,;\,-5\,;\,1)$$
Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne :
$$-x + y - 2z + 5 = 0$$
On considère le point $S(1\,;\,-2\,;\,4)$.
Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$, passant par S et orthogonale au plan (ABC).
On appelle H le point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et du plan (ABC).
Montrer que les coordonnées de H sont $(0\,;\,-1\,;\,2)$.
Calculer la valeur exacte de la distance $SH$.
On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par le point B. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$.
Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque $\mathcal{D}$.
En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le disque $\mathcal{D}$.