BAC Spé Maths 2023 — Métropole J1 Septembre

Montrer que pour $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2 - 2x + 2\right)$.

En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $\left[0{,}5\,;\,1\right]$, que l'on notera $\alpha$.

On donne le tableau de signes de $g$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[ = I$ :

Tableau de signes de $g$ sur $I = \left]0\,;\,+\infty\right[$

Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, on note $f'$ sa fonction dérivée, $f''$ sa fonction dérivée seconde et on admet que :
$$\text{pour tout nombre réel } x > 0,\quad f'(x) = e^x\left(\frac{1}{x} + \ln x\right).$$
Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a :
$$f''(x) = e^x\left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \ln x\right).$$

On pourra remarquer que pour tout réel $x > 0$, $f''(x) = e^x \times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.

Dresser le tableau de signes de la fonction $f''$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Justifier.

Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion $A$.

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Justifier.

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

Montrer que $f'(\alpha) = \dfrac{e^\alpha}{\alpha^2}(1 - \alpha)$.

On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$.

Démontrer que $f'(\alpha) > 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.