Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Madagascar J1 2022. Il couvre 3 thèmes : Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités, Probabilités conditionnelles et Bayes. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur :
- un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de 25 ans ;
- un forfait SENIOR pour les autres.
Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.
On admet que :
- 20 % des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
- 80 % des skieurs ont un forfait SENIOR ;
- parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6 % choisissent l'option coupe-file ;
- parmi les skieurs ayant un forfait SENIOR, 12,5 % choisissent l'option coupe-file.
On interroge un skieur au hasard et on considère les évènements :
- $J$ : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
- $C$ : « le skieur choisit l'option coupe-file ».
Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante
Partie A
Traduire la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité $P(J \cap C)$.
Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0{,}112$.
Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15 % des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.
Partie B
On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0{,}112$.
On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file.
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
Calculer la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
Calculer la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.