BAC Spé Maths 2022 Polynésie J1 Septembre 2022 — Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de foncti

Exercice

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par :
$$g(x) = \frac{2\ln x}{x}.$$

Question Q1

On note $g'$ la dérivée de $g$. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif :
$$g'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}.$$

On dispose de ce tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ :

$Tableau de variations de la fonction $g$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$$

Tableau de variations de la fonction $g$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$

Question Q2a

Justifier la valeur $\dfrac{2}{e}$.

Question Q2b

Justifier les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition.

Question Q2c

Justifier les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.

Question Q3

En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = [\ln(x)]^2.$$
Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.

Question Q4

Démontrer que sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$.

Question Q5a

À l'aide de la partie 1, étudier la convexité de la fonction $f$.

Question Q5b

À l'aide de la partie 1, étudier les variations de la fonction $f$.

Question Q6a

Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $e$.

Question Q6b

En déduire que, pour tout réel $x$ dans $\left]0\,;\,e\right]$ :
$$[\ln(x)]^2 \geqslant \frac{2}{e}x - 1.$$

BAC Spé Maths 2022 — Polynésie J1 Septembre 2022

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