Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2022. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Divers, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans cet exercice, on considère la suite $(T_n)$ définie par :
$$T_0 = 180 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\quad T_{n+1} = 0{,}955\,T_n + 0{,}9$$
1.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $T_n > 20$.
Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} - T_n = -0{,}045(T_n - 20)$. En déduire le sens de variation de la suite $(T_n)$.
Conclure de ce qui précède que la suite $(T_n)$ est convergente. Justifier.
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = T_n - 20$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = 20 + 160 \times 0{,}955^n$.
Calculer la limite de la suite $(T_n)$.
Résoudre l'inéquation $T_n \leqslant 120$ d'inconnue $n$ entier naturel.
3. Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four.
On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de 180° C et celle de l'air ambiant de 20° C.
La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $(T_n)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, $n$ minutes après sa sortie du four.
Expliquer pourquoi la limite de la suite $(T_n)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.
On considère la fonction Python ci-dessous :
def temp(x) :
T = 180
n = 0
while T > x :
T=0.955*T+0.9
n=n+1
return n
Donner le résultat obtenu en exécutant la commande `temp(120)`.
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.