Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2022. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ d'unité 1 cm, on considère les points suivants :
$$J(2\,;\,0\,;\,1),\quad K(1\,;\,2\,;\,1) \quad \text{et} \quad L(-2\,;\,-2\,;\,-2)$$
1.
Montrer que le triangle $JKL$ est rectangle en $J$.
Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle $JKL$ en $\mathrm{cm}^2$.
Déterminer une valeur approchée au dixième près de l'angle géométrique $\widehat{JKL}$.
2.
Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(JKL)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $(JKL)$.
Dans la suite, $T$ désigne le point de coordonnées $(10\,;\,9\,;\,-6)$.
3.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(JKL)$ et passant par $T$.
Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $T$ sur le plan $(JKL)$.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3}\,\mathcal{B} \times h$$
où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.
Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre $JKLT$ en $\mathrm{cm}^3$.