Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2022. Il couvre 4 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Équations et inéquations, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.
Affirmation 1 : Pour tout réel $x$ : $1 - \dfrac{1 - e^x}{1 + e^x} = \dfrac{2}{1 + e^{-x}}$.
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$.
Affirmation 2 : L'équation $g(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 e^{-x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.
Affirmation 3 : L'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathscr{C}$ en un seul point.
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = e^x\left(1 - x^2\right)$.
Affirmation 4 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $h$ n'admet pas de point d'inflexion.
Affirmation 5 : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x + x} = 0$$
Affirmation 6 : Pour tout réel $x$, $1 + e^{2x} \geqslant 2e^x$.