Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J1 2022. Il porte sur les thèmes Fonction logarithme népérien et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2 SUITES
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n^2$.
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python. Cette fonction est nommée $\texttt{suite\_u}$ et prend pour paramètre l'entier naturel $p$. Elle renvoie la valeur du terme de rang $p$ de la suite $(u_n)$.
def suite_u(p) :
u= ...
for i in range(1,...) :
u =...
return u
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 4$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Justifier que la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ vérifie l'égalité $\ell = \frac{1}{5}\ell^2$.
En déduire la valeur de $\ell$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \ln(u_n)$ et $w_n = v_n - \ln(5)$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n - \ln(5)$.
Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $2$.
Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que
$$v_n = \ln\!\left(\frac{4}{5}\right) \times 2^n + \ln(5).$$
Calculer $$\lim_{n \to +\infty} v_n$$ et retrouver $$\lim_{n \to +\infty} u_n.$$