BAC Spé Maths 2022 — Amérique du Sud J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Sud J2 2022. Il couvre 5 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\right)$, on considère les points
$$A(0\,;\,8\,;\,6),\quad B(6\,;\,4\,;\,4)\quad \text{et}\quad C(2\,;\,4\,;\,0)$$
Repère orthonormé avec les points $A$, $B$, $C$
Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Soient $D$ et $E$ les points de coordonnées respectives $(0\,;\,0\,;\,6)$ et $(6\,;\,6\,;\,0)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$.
Montrer que le milieu $I$ du segment $[BC]$ appartient à la droite $(DE)$.
On considère le triangle $ABC$.
Déterminer la nature du triangle $ABC$.
Calculer l'aire du triangle $ABC$ en unité d'aire.
Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie à $0{,}1$ degré.
On considère le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{5}{3}\,;\,\dfrac{10}{3}\,;\,-\dfrac{5}{3}\right)$.
Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$.