Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 2022. Il couvre 4 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Produit scalaire…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2 (7 points) — Thème : géométrie dans l'espace
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère :
- le point $A$ de coordonnées $(-1\,;\,1\,;\,3)$,
- la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = 1+2t \\ y = 2-t \\ z = 2+2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.$$
On admet que le point $A$ n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$.
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathcal{D}$.
Montrer que le point $B(-1\,;\,3\,;\,0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u}$.
On note $\mathcal{P}$ le plan passant par le point $A$ et orthogonal à la droite $\mathcal{D}$, et on appelle $H$ le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$. Ainsi, $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $\mathcal{D}$.
Montrer que le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne : $2x - y + 2z - 3 = 0$.
En déduire que le point $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right)$.
Calculer la longueur $AH$. On donnera une valeur exacte.
Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\mathcal{D}$, par une autre méthode.
On rappelle que le point $B(-1\,;\,3\,;\,0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ et que le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
Justifier qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{HB} = k\,\vec{u}$.
Montrer que $k = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}$.
Calculer la valeur du nombre réel $k$ et retrouver les coordonnées du point $H$.
On considère un point $C$ appartenant au plan $\mathcal{P}$ tel que le volume du tétraèdre $ABCH$ soit égal à $\dfrac{8}{9}$. Calculer l'aire du triangle $ACH$.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.