BAC Spé Maths 2022 — Madagascar J2 2022
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Madagascar J2 2022. Il couvre 3 thèmes : Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Vecteurs dans l'espace. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Thème : Géométrie dans l'espace
On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.
Cube ABCDEFGH de côté 1
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A\,;\, \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.
Justifier que les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.
Justifier que la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.
En déduire que la droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.
Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{ED}$.
Déduire de la question 1.c. qu'une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est :
$$y - z = 0$$
On désigne par $L$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\,;\, 1\,;\, 0\right)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EL)$.
Déterminer l'intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$.
Démontrer que le projeté orthogonal du point $L$ sur le plan $(AGH)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\,;\, \dfrac{1}{2}\,;\, \dfrac{1}{2}\right)$.
Montrer que la distance du point $L$ au plan $(AGH)$ est égale à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Déterminer le volume du tétraèdre $LAGH$.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$V = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$$