BAC Spé Maths 2021 — Asie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2021. Il couvre 4 thèmes : Aires et volumes, Géométrie dans l'espace, Produit scalaire…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = AD = 1$ et $AE = 2$, représenté ci-dessous.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$. Le point $K$ est le milieu du segment $[DC]$. Le point $L$ est défini par : $\vec{DL} = \dfrac{3}{2}\vec{AI}$. $N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.
Pavé droit $ABCDEFGH$ avec les points $I$, $K$, $L$
On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AI}\right)$.
On admet que le point $L$ a pour coordonnées $\left(0\,;\,1\,;\,\dfrac{3}{2}\right)$.
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AK}$ et $\vec{AL}$.
Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(6\,;\,-3\,;\,2)$ est un vecteur normal au plan $(AKL)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $(AKL)$.
Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(AKL)$.
En déduire que le point $N$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49}\,;\,\dfrac{40}{49}\,;\,\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.
On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule :
$$\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$$
Calculer le volume du tétraèdre $ADKL$ en utilisant le triangle $ADK$ comme base.
Calculer la distance du point $D$ au plan $(AKL)$.
Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $AKL$.