Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2021. Il couvre 4 thèmes : Dénombrement et combinatoire, Loi binomiale et Bernoulli, Probabilités…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets cœurs ! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.
Exemple de ticket avec trois cœurs placés au hasard
Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.
Justifier qu'il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
Montrer que la probabilité qu'un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$.
Lorsqu'un joueur génère un ticket, la société prélève $1\,€$ sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5\,€$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.
Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement $(X = 5)$.
Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement $(X \geqslant 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.