Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Centres étrangers J2 2021. Il couvre 3 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Fonction exponentielle, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Au $1^{\text{er}}$ janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait 10 560 panneaux solaires.
On observe, chaque année, que 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.
Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite
On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 10560$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}98\,u_n + 250$, où $u_n$ est le nombre de panneaux solaires au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2020 + n$.
Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12 000.
À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable $n$ à l'issue de l'exécution de ce dernier.
u = 10560
n = 0
while ...... :
u = ......
n = ......
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \leqslant 12500$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge. Il n'est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
On définit la suite $(v_n)$ par $v_n = u_n - 12500$, pour tout entier naturel $n$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}98$ dont on précisera le premier terme.
Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
En déduire, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction
Une modélisation plus précise a permis d'estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l'aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in \left[0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = 12500 - 500\,e^{-0{,}02x+1{,}4},$$
où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis le $1^{\text{er}}$ janvier 2020.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires dépassera 12 000.