BAC Spé Maths 2021 Centres étrangers J2 — Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace, Géo

Exercice

ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment $[CG]$.
Il existe donc $a \in \left[0\,;\,1\right]$ tel que $\vec{CJ} = a\,\overrightarrow{CG}$.
On note $(d)$ la droite passant par I et parallèle à $(FJ)$.
On note K et L les points d'intersection de la droite $(d)$ et des droites $(AE)$ et $(DH)$.
On se place dans le repère $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$.

Partie A : Dans cette partie $a = \dfrac{2}{3}$

Cube ABCDEFGH avec les points I (centre de ADHE), J sur [CG], K sur (AE) et L sur (DH)

Question Q1

Donner les coordonnées des points F, I et J.

Question Q2

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

Question Q3a

Montrer que le point de coordonnées $\left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3}\right)$ est le point K.

Question Q3b

Déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites $(d)$ et $(DH)$.

Question Q4a

Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

Question Q4b

Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.

Question Q4c

Le quadrilatère FJLK est-il un carré ?

Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points K et L sont : $K\!\left(0\,;\,0\,;\,1-\dfrac{a}{2}\right)$ et $L\!\left(0\,;\,1\,;\,\dfrac{a}{2}\right)$.

On rappelle que $a \in \left[0\,;\,1\right]$.

Question Q5

Déterminer les coordonnées de J en fonction de $a$.

Question Q6

Montrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

Question Q7

Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère FJLK soit un losange ? Justifier.

Question Q8

Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère FJLK soit un carré ? Justifier.

BAC Spé Maths 2021 — Centres étrangers J2

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