Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Mars 2021. Il porte sur le thème Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Exercice A
Principaux domaines abordés : Suites numériques ; raisonnement par récurrence ; suites géométriques.
La suite $(u_n)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n + \frac{1}{4}n + 1.$$
Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.
Extrait de feuille de calcul des premiers termes de $(u_n)$
Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $(u_n)$ dans la colonne B ?
Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n+1$.
En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $(u_n)$.
Démontrer que :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} = 1.$$
On désigne par $(v_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - n$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n$.