BAC Spé Maths 2022 — Métropole J2 2022
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2022. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A : études de deux fonctions
On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par :
$$f(x) = 0{,}06\left(-x^2 + 13{,}7x\right) \quad \text{et} \quad g(x) = (-0{,}15x + 2{,}2)\,\mathrm{e}^{0{,}2x} - 2{,}2.$$
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.
1. On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.
Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
Justifier les variations de la fonction $f$.
Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
2.
Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0\,;\,+\infty[$ on a : $g'(x) = (-0{,}03x + 0{,}29)\,\mathrm{e}^{0{,}2x}$.
Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0\,;\,+\infty[$. Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.
Partie B : trajectoires d'une balle de golf
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.
On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que $13{,}7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0\,;\,13{,}7]$.
Trajectoires de la balle
Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec $0 < x < 13{,}7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ $0{,}914$ mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $0$. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan(d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $13{,}7$. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan(a)$ est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
Vérifier que $f'(0) = 0{,}822$.
Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
2. Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
On précise que $g'(0) = 0{,}29$ et $g'(13{,}7) \approx -1{,}87$.
Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.
Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connaît sa tangente :
| $\tan(\theta)$ | 0,815 | 0,816 | 0,817 | 0,818 | 0,819 | 0,82 | 0,821 | 0,822 | 0,823 | 0,824 | 0,825 | 0,826 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\theta$ en degrés | 39,18 | 39,21 | 39,25 | 39,28 | 39,32 | 39,35 | 39,39 | 39,42 | 39,45 | 39,49 | 39,52 | 39,56 |
| $\tan(\theta)$ | 0,285 | 0,286 | 0,287 | 0,288 | 0,289 | 0,29 | 0,291 | 0,292 | 0,293 | 0,294 | 0,295 | 0,296 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\theta$ en degrés | 15,91 | 15,96 | 16,01 | 16,07 | 16,12 | 16,17 | 16,23 | 16,28 | 16,33 | 16,38 | 16,44 | 16,49 |
Partie C : interrogation des modèles
À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :
| Angle de décollage en degré | Hauteur maximale en yard | Angle d'atterrissage en degré | Distance horizontale en yard au point de chute |
|---|---|---|---|
| 24 | 32 | 52 | 137 |
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.