Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J1 Septembre 2024. Il porte sur les thèmes Algorithmique et programmation Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
On considère une suite $(t_n)$ vérifiant la relation de récurrence :
$$\text{pour tout entier naturel } n,\quad t_{n+1} = -0{,}8\,t_n + 18.$$
Affirmation 1 : La suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = t_n - 10$ est géométrique.
On considère une suite $(S_n)$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul :
$$3n - 4 \leq S_n \leq 3n + 4.$$
La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n = \dfrac{S_n}{n}$.
Affirmation 2 : La suite $(u_n)$ converge.
On considère la suite $(v_n)$ définie par :
$$v_1 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n \geq 1,\quad v_{n+1} = 2 - \frac{1}{v_n}.$$
Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n \geq 1$, $v_n = \dfrac{n+1}{n}$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = e^n - n$.
Affirmation 4 : La suite $(u_n)$ converge.
On considère la suite $(u_n)$ définie à l'aide du script écrit ci-dessous en langage Python, qui renvoie la valeur de $u_n$.
def u(n) :
valeur = 2
for k in range(n) :
valeur = 0.5 * (valeur + 2/valeur)
return valeur
On admet que $(u_n)$ est décroissante et vérifie pour tout entier naturel $n$ :
$$\sqrt{2} \leq u_n \leq 2.$$
Affirmation 5 : La suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt{2}$.