Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2026. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Distances dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans cet exercice l'unité est le centimètre.
On considère une pyramide à base carrée $SABCD$ comme dans la figure ci-dessous.
Pyramide à base carrée SABCD avec repère orthonormé $(O\,;\,\vec{OI},\,\vec{OJ},\,\vec{OK})$
Dans cette figure :
- $AB = BC = CD = DA = OS = 2$ cm;
- $I$ est le milieu de $[CD]$, $J$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[OS]$.
L'espace est muni du repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{OI},\,\vec{OJ},\,\vec{OK}\right)$.
On admet que $B(-1\,;\,1\,;\,0)$, $C(1\,;\,1\,;\,0)$, et $S(0\,;\,0\,;\,2)$.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Donner les coordonnées des points $A$ et $D$.
Calculer le produit scalaire $\vec{SC} \cdot \vec{SB}$.
En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BSC}$ arrondie au dixième de degré près.
Partie B
On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point $O$ au plan $(SBC)$.
Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$.
Justifier que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(SBC)$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(SBC)$ est $2y + z - 2 = 0$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(SBC)$.
Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(OH)$ est :
$$\begin{cases} x = 0 \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$
Calculer les coordonnées du point $H$.
En déduire que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ cm.
Partie C
On se propose ici de retrouver le résultat de la partie B par une autre méthode.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par :
$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
Calculer le volume de la pyramide $SABCD$.
En déduire que le volume de la pyramide $OCBS$ est égal à $\dfrac{2}{3}$ cm$^3$.
Déterminer l'aire du triangle $SBC$.
Déduire des questions précédentes que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ cm.