Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J1 2026. Il couvre 4 thèmes : Analyse graphique, Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = 5\ln\left(x^2 + 1\right) - 3x$$
et on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ et la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$.
Courbe $\mathscr{C}_f$ et tangente au point $A$ d'abscisse $1$
Conjecturer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$, les intervalles de $\mathbb{R}$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif,
$$f(x) = x\left(10\frac{\ln x}{x} - 3\right) + 5\ln\!\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$$
Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Démontrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{-3x^2 + 10x - 3}{x^2 + 1}$.
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout réel $x$,
$$f''(x) = \frac{-10x^2 + 10}{\left(x^2 + 1\right)^2}$$
Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$.
En déduire que pour tout $x > 1$, $\ln\left(x^2 + 1\right) \leqslant x + \ln(2) - 1$.