Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2026. Il couvre 4 thèmes : Algorithmique et programmation Python, Dérivation et étude de fonctions, Limites de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A : étude du sens de variation d'une fonction
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$$
Résoudre l'équation $f(x) = x$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$.
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Partie B : étude de la convergence d'une suite récurrente
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt{3}$.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question 2. de la Partie B.
Pour tout entier naturel $n$, on pose :
$$v_n = \frac{u_n^2}{3 - u_n^2}$$
On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 4 dont on précisera le premier terme.
En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis que $u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5 \times 4^n}{1 + 0{,}5 \times 4^n}}$ pour tout entier naturel $n$.
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
Partie C : étude de la convergence de la somme de termes
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n = u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2$.
Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les $p$ premiers termes de la suite $(S_n)$.
from math import*
def termes(p) :
u = ...
S=0
L= [ ]
for i in range(p)
S=...
u= ...
L.append(S)
return L
Remarque : on rappelle qu'en langage Python,
- la commande `L= [ ]` crée une liste vide ;
- la commande `L.append(S)` ajoute, à la fin de la liste `L`, l'élément supplémentaire `S`.
On rappelle que, pour tout entier naturel $k$, on a $1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt{3}$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n \leqslant S_n \leqslant 3n$.
En déduire les limites respectives de $S_n$ et de $\dfrac{S_n}{n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.