Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2026. Il couvre 5 thèmes : Aires et volumes, Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère :
- les points $A(4\,;\,2\,;\,2)$, $B(5\,;\,-2\,;\,3)$ et $C(1\,;\,1\,;\,1)$ ;
- la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est donnée par
$$\begin{cases} x = 1+2t \\ y = 1+t \\ z = 1+2t \end{cases} \text{ avec } t \in \mathbb{R}$$
- le plan $\mathscr{P}$ contenant le point $A$ et perpendiculaire à la droite $\Delta$.
Vérifier que la droite $\Delta$ contient le point $C(1\,;\,1\,;\,1)$ mais pas le point $A$.
Démontrer qu'une équation cartésienne du plan est $2x + y + 2z - 14 = 0$.
Vérifier que le plan $\mathscr{P}$ contient le point $B$ mais pas le point $C$.
On considère le point $D(3\,;\,2\,;\,3)$.
Démontrer que le point $D$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\mathscr{P}$.
Justifier que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.
Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.
On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.
Vérifier que les coordonnées du point $H$ sont $\left(\dfrac{73}{29}\,;\,\dfrac{-4}{29}\,;\,\dfrac{51}{29}\right)$.
Démontrer que l'aire du triangle $ABC$ est $\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$.
En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.