Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Amérique du Nord J2 2026. Il couvre 5 thèmes : Calcul intégral et primitives, Continuité et TVI, Dérivation et étude de fonctions…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = x(\ln x)^2$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Pour tout réel $x > 0$, on pose $g(x) = x\ln x$.
Démontrer que pour tout réel $x > 0$, on a $f(x) = 4\left(g\left(\sqrt{x}\right)\right)^2$.
En déduire $$\lim_{x \to 0} f(x).$$
Dans cette question, on étudie les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Démontrer que sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, $f'(x) = (\ln x)(2 + \ln x)$.
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,1\right]$.
On considère l'équation $f(x) = 2$.
Justifier que, sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, cette équation admet une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\left]0\,;\,1\right]$.
Donner une interprétation géométrique de $$\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x$$.
À l'aide d'une intégration par parties, justifier que :
$$\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x.$$
En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :
$$\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \frac{a^2}{2}\ln a + \frac{1}{4} - \frac{a^2}{4}.$$
Déterminer la limite de $$\displaystyle\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x$$ quand $a$ tend vers $0$.