BAC Spé Maths 2025 Amérique du Nord J2 — Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de foncti

Exercice

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0\,;\,\pi\right]$ par
$$f(x) = e^x \sin(x).$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE A

Question Q1a

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0\,;\,\pi\right]$,
$$f'(x) = e^x[\sin(x) + \cos(x)].$$

Question Q1b

Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Question Q2a

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

Question Q2b

Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Question Q2c

En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, $e^x \sin(x) \geqslant x$.

Question Q3

Justifier que le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

PARTIE B

On note
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin(x)\,dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x)\,dx.$$

Question Q4

En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes :
$$I = 1 + J \quad \text{et} \quad I = e^{\frac{\pi}{2}} - J.$$

Question Q5

En déduire que $I = \dfrac{1 + e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.

On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x$.

Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $\left[0\,;\,\pi\right]$.

Courbes Cf et Cg sur [0 ; π], domaine hachuré entre x=0 et x=π/2

Question Q6

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$.

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