Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2025. Il porte sur les thèmes Algorithmique et programmation Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Un patient doit prendre toutes les heures une dose de $2\,\mathrm{ml}$ d'un médicament.
On introduit la suite $(u_n)$ telle que le terme $u_n$ représente la quantité de médicament, exprimée en ml présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament.
On a $u_1 = 2$ et
$$\text{pour tout entier naturel } n \text{ strictement positif : } u_{n+1} = 2 + 0{,}8\,u_n.$$
Partie A
En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $9\,\mathrm{mL}$.
Calculer la valeur $u_2$.
Montrer par récurrence que :
$$u_n = 10 - 8 \times 0{,}8^{n-1} \quad \text{pour tout entier naturel } n \text{ strictement positif.}$$
Déterminer $$\lim_{n \to +\infty} u_n$$ et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_N \geqslant 10$ admet-elle des solutions ?
Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.
Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $9\,\mathrm{mL}$. Justifier votre démarche.
Partie B
En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps.
On définit pour cela la suite $(S_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par
$$S_n = \frac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}{n}.$$
On admet que la suite $(S_n)$ est croissante.
Calculer $S_2$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif,
$$u_1 + u_2 + \cdots + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0{,}8^n.$$
Calculer $$\lim_{n \to +\infty} S_n$$.
On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :
def mystere(k):
n = 1
s = 2
while s < k:
n = n + 1
s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n
return n
Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie `mystere(9)` ?
Justifier que cette valeur est strictement supérieure à $10$.