Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J1 2025. Il couvre 4 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dérivation et étude de fonctions, Fonction exponentielle…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$$
et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $g(x) = e^{\sqrt{x}}$.
Montrer que $g'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$, calculer $f'(x)$ et montrer que :
$$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}-1\right)}{4x\sqrt{x}}.$$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.
Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution sur l'intervalle $\left[1\,;\,+\infty\right[$ et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution.
On pose $$I = \displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx$$.
Calculer $I$.
Interpréter graphiquement le résultat.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et que :
$$f''(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}\left(x - 3\sqrt{x} + 3\right)}{8x^2\sqrt{x}}.$$
En posant $X = \sqrt{x}$, montrer que $x - 3\sqrt{x} + 3 > 0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0\,;\,+\infty\right[$.