Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2025. Il porte sur les thèmes Algorithmique et programmation Python et Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Partie A
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 30$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 10$.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 20$.
Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20 + 10\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Justifier la réponse.
Partie B
Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$\begin{cases} w_0 = 45 \\ w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_n + \dfrac{1}{2}u_n + 7 \end{cases}$$
Montrer que $w_1 = 44{,}5$.
On souhaite écrire une fonction `suite`, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme $w_n$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction `suite`.
def suite(n) :
U=30
W=45
for i in range (1,n+1) :
U=U/2+10
W=W/2+U/2+7
return W
L'exécution de `suite(1)` ne renvoie pas le terme $w_1$. Comment modifier la fonction `suite` afin que l'exécution de `suite(n)` renvoie la valeur du terme $w_n$ ?
Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$w_n = 10n\left(\frac{1}{2}\right)^n + 11\left(\frac{1}{2}\right)^n + 34$$
On admet que pour tout entier naturel $n \geq 4$, on a : $0 \leq 10n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leq \dfrac{10}{n}$.
Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(w_n)$ ?