Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Asie J2 2025. Il couvre 4 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.
On considère :
- les points $C(3\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$, $H(-6\,;\,2\,;\,2)$ et $J\left(\dfrac{-54}{13}\,;\,\dfrac{62}{13}\,;\,0\right)$ ;
- le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x + 3y + 6z - 6 = 0$ ;
- le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - 2y + 3z - 3 = 0$ ;
- la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = -8 + \dfrac{1}{3}t \\ y = -1 + \dfrac{1}{2}t \\ z = -4 + t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}$$
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 : La droite $(d)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ et coupe ce plan en $H$.
Affirmation 2 : La mesure en degré de l'angle $\widehat{DCH}$, arrondie à $10^{-1}$, est $17{,}3°$.
Affirmation 3 : Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants et leur intersection est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases} x = 3 - 3t \\ y = 0 \\ z = t \end{cases},\quad t \in \mathbb{R}.$$
Affirmation 4 : Le point $J$ est le projeté orthogonal du point $H$ sur la droite $(CD)$.