Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Métropole J2 2025. Il couvre 5 thèmes : Distances dans l'espace, Droites et plans dans l'espace, Géométrie dans l'espace…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
EXERCICE 2
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$. On considère :
- les points $A(-1\,;\,2\,;\,1)$, $B(1\,;\,-1\,;\,2)$ et $C(1\,;\,1\,;\,1)$ ;
- la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par :
$$d : \begin{cases} x = \dfrac{3}{2} + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$
- la droite $d'$ dont une représentation paramétrique est donnée par :
$$d' : \begin{cases} x = s \\ y = \dfrac{3}{2} + s \\ z = 3 - 2s \end{cases} \quad s \in \mathbb{R}$$
Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point $S\!\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,1\,;\,4\right)$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est :
$$x + 2y + 4z - 7 = 0.$$
Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
Démontrer que le point $H(-1\,;\,0\,;\,2)$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $(ABC)$.
En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan $(ABC)$ tel que $SM < \dfrac{\sqrt{21}}{2}$.
On considère un point $M$ appartenant au segment $[CS]$. On a donc $\overrightarrow{CM} = k\overrightarrow{CS}$ avec $k$ réel de l'intervalle $\left[0\,;\,1\right]$.
Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.
Existe-t-il un point $M$ sur le segment $[CS]$ tel que le triangle $(MAB)$ soit rectangle en $M$ ?