Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2025. Il couvre 3 thèmes : Probabilités, Python, Suites numériques. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.
Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre. Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 devient 1).
La transmission est fidèle dans 90 % des cas, et donc contraire dans 10 % des cas.
Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.
Partie A
Pour tout entier naturel $n \geq 1$, on note :
- $V_n$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 1 » ;
- $\overline{V_n}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 0 ».
Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
Arbre de probabilité à compléter
Démontrer que $P(V_3) = 0{,}82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.
Pour tout entier naturel $n \geq 1$, on note $p_n = P(V_n)$.
La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_1 = 1$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n \geq 1$ :
$$p_{n+1} = 0{,}8p_n + 0{,}1.$$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$,
$$p_n = 0{,}5 \times 0{,}8^{n-1} + 0{,}5.$$
Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B
Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction `simulation` qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.
On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.
On rappelle que l'instruction `rand()` renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0\,;\,1[$.
def simulation(n):
donnee = 1
liste = [donnee]
for k in range(n):
if rand() < 0.1
donnee = 1 - donnee
liste.append(donnee)
return liste
Par exemple, `simulation(3)` peut renvoyer `[1, 0, 0, 1]`. Cette liste traduit :
- qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines ;
- la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
- la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;
- la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.
Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.
Calculer la probabilité que `simulation(4)` renvoie la liste `[1, 1, 1, 1, 1]` et la probabilité que `simulation(6)` renvoie la liste `[1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]`.