BAC Spé Maths 2025 — Polynésie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2025. Il couvre 3 thèmes : Dérivation et étude de fonctions, Fonction logarithme népérien, Limites de fonctions. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]2\,;\,+\infty\right[$ par
$$f(x) = x\ln(x-2).$$
Une partie de la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
$\mathscr{C}_f$
Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$, ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.
Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$.
Calculer $$\lim_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x).$$
Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1 ?
Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\left]2\,;\,+\infty\right[$ :
$$f'(x) = \ln(x-2) + \frac{x}{x-2}.$$
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]2\,;\,+\infty\right[$ par $g(x) = f'(x)$.
Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\left]2\,;\,+\infty\right[$, on a :
$$g'(x) = \frac{x-4}{(x-2)^2}.$$
On admet que $$\lim_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} g(x) = +\infty$$ et que $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty.$$
En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.
En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $\left]2\,;\,+\infty\right[$, $g(x) > 0$.
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$.
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 ?