BAC Spé Maths 2025 — Polynésie J2
Cet exercice est issu des annales officielles du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Terminale générale), session Polynésie J2 2025. Il couvre 5 thèmes : Calcul intégral et primitives, Dénombrement et combinatoire, Divers…. L'énoncé est accompagné d'indices progressifs pour guider la réflexion sans donner la réponse, et d'un corrigé détaillé.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\}$ et $F = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\,;\,9\}$.
Affirmation n° 1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.
Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré ABCD de côté 3.
Fonction carré et carré ABCD de côté 3
Affirmation n° 2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.
On considère l'intégrale $J$ ci-dessous :
$$J = \int_1^2 x\ln(x)\,\mathrm{d}x.$$
Affirmation n° 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir : $J = \dfrac{7}{11}$.
Sur $\mathbb{R}$, on considère l'équation différentielle
$$(E) : \quad y' = 2y - e^x.$$
Affirmation n° 4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x + e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
Soit $x$ donné dans $[0\,;\,1[$. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$u_n = (x-1)e^n + \cos(n).$$
Affirmation n° 5 : La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.